Sangaku são tábuas comemorativas contendo problemas geométricos japoneses. Eram confeccionadas em madeira, e penduradas nos recintos dos templos budistas e santuários xintoístas como forma de oferendas aos Kami e Budas durante o período Edo. As tábuas eram desafios aos congregantes ou apenas demonstrações das soluções para as questões.
Um problema típico do quebra-cabeça Sangaku é o que aparecem três círculos tangentes dois a dois, sendo os três tangentes a uma reta. Este problema apareceu em uma tábua de 1824 na província de Gunma e essencialmente diz que, dados dois círculos grandes externos, calcular o raio do círculo pequeno entre eles.
Denotamos por x e y as distâncias entre as retas verticais que cruzam os centros dos círculos de raios R e S e raios R e T, respectivamente. Com isso, obtemos três triângulos retângulos distintos:
Aplicamos o teorema pitagórico:
(S−R)2+x2=(R+S)2 S2−2RS+R2+x2=S2+2RS+R2 x2=S2+2RS+R2−S2+2RS−R2 x2=4RSExtraindo a raiz, obtemos:
x=2√RS
Aplicamos o teorema pitagórico:
(T−R)2+y2=(R+T)2 T2−2RT+R2+y2=R2+2RT+T2 y2=R2+2RT+T2−T2+2RT−R2 y2=4RTExtraindo a raiz:
y=2√RT
Aplicamos o teorema pitagórico:
(T−S)2+(x+y)2=(S+T)2 T2−2ST+S2+(x+y)2=S2+2ST+T2 (x+y)2=S2+2ST+T2−T2+2ST−S2 (x+y)2=4STExtraindo a raiz:
x+y=2√ST
2√RS+2√RT=2√ST 2(√RS+√RT)=2√ST √RS+√RT=√STSubstituindo (1) e (2) em (3), obtemos:
Dividimos ambos os membros da equação por √R√S√T:
√RS√R√S√T+√RT√R√S√T=√ST√R√S√TE por fim, obtemos:
1√T+1√S=1√R
A equação acima relaciona os três raios das circunferências. Com um pouco de álgebra podemos isolar a variável R para que ele seja determinado em função dos outros dois:
R=1(1√S+1√T)2Podemos, assim, criar uma tabela com os 6 tripletos primitivos de raios menores do que 1.000:
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